Βοήθεια στα φύλλα εργασίας του λυκείου Η συνάρτηση f(x)=arctanx (Εμφάνιση βοήθειας) Βοήθεια 1ης ερώτησης Να αλλάξετε την κλίμακα για το χ και στα άκρα να τοποθετήσετε τους αριθμούς -1,57 και 1,57, αφού οι αριθμοί αυτοί είναι το -π/2 και το π/2. Το διάστημα αυτό το επιλέγουμε, προκειμένου να μην εμφανιστούν οι πολλαπλές καμπύλες της γραφικής παράστασης της εφαπτομένης. Να χρησιμοποιήσετε και για το ψ το ίδιο διάστημα και την ίδια «απόσταση πλέγματος», ώστε το σύστημα να είναι κανονικό, δηλαδή οι δύο άξονες να έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης. Βοήθεια 2ης ερώτησης Για να μην επιλέξετε σημεία που βρίσκονται έξω από τα περιθώρια της οθόνης, προτιμήστε να αποκόψετε σημεία από την καμπύλη με βάση τον άξονα ψ'ψ. Επιλέγοντας ένα διάστημα μεταξύ -π/2 και π/2, δηλαδή μεταξύ -1,57 και 1,57, θα έχετε πάνω στον άξονα ψ'ψ σημεία τα οποία θα είναι όλα ορατά στα περιθώρια του «πίνακα γράφημα» του λογισμικού. Αφού αποστείλετε τα σημεία στον πίνακα τιμών, θα παρατηρήσετε ότι όλες οι συμμετρικές τιμές ως προς χ έχουν αντίστοιχες τιμές του ψ, που είναι και αυτές συμμετρικές ως προς το 0. Οι συναρτήσεις που έχουν αυτή την ιδιότητα χαρακτηρίζονται με έναν ιδιαίτερο όρο. Ποιος είναι αυτός; Βοήθεια 3ης ερώτησης Όταν κάνουμε αυτή την ενέργεια, δηλαδή εναλλαγή του χ με το ψ, τότε τα σημεία αλλάζουν διάταξη και εμφανίζονται πάνω σε μία άλλη καμπύλη. Αυτό σημαίνει ότι δημιουργείται μία νέα συνάρτηση η οποία σε κάθε τιμή της εφαπτομένης αντιστοιχεί στη γωνία χ. Η συνάρτηση αυτή θα μπορούσε να ονομαστεί τόξο εφαπτομένης χ ή, σε συντομογραφία, τοξοεφχ ή arctanx. Βοήθεια 4ης ερώτησης Παρατηρήστε ότι η συμμετρική γραφική παράσταση περνά από όλα τα σημεία που προέκυψαν κατά την προηγούμενη ερώτηση. Για να εξηγήσετε το γεγονός αυτό θα πρέπει να σκεφτείτε ότι αν δύο σημεία είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία ψ=χ, τότε η τετμημένη του ενός είναι ίση με την τεταγμένη του άλλου. Αυτό σημαίνει ότι η συμμετρική της γραφικής παράστασης της ψ=εφχ θα είναι μία καμπύλη που θα περνά από όλα τα σημεία της ερώτησης 3. Βοήθεια 5ης ερώτησης Είναι φανερό ότι οι δύο γραφικές παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x. Η συγκεκριμένη συνάρτηση σε κάθε πραγματικό αριθμό α αντιστοιχεί στη γωνία x, για την οποία ισχύει εφx=α. Τώρα μπορούμε να λύσουμε οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής εφχ=α, φέρνοντας μία κάθετη στο σημείο α του άξονα του χ. Να λύσετε την εξίσωση εφχ=3 με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης. Βοήθεια 6ης ερώτησης Προσέξτε ότι η γραφική παράσταση μοιάζει να γίνεται ευθεία όσο μεγαλώνουν οι τιμές της μεταβλητής χ. Αυτό μπορείτε να το επιβεβαιώσετε, αλλάζοντας κλίμακα και ορίζοντας μεγάλες τιμές για το άκρο της μεταβλητής χ. Αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία ψ=1,57 και η εξήγηση είναι απλή. Η τιμή 1,57 είναι το 3,14/2, δηλαδή το π/2 σε ακτίνια ή το 90o σε μοίρες. Την τιμή αυτή δεν μπορεί να την πάρει η μεταβλητή ψ, αφού στις 90o δεν ορίζεται η εφαπτομένη. Προφανώς η γραφική παράσταση έχει οριζόντια ασύμπτωτη και την ευθεία ψ=-π/2. Βοήθεια 7ης ερώτησης Να σύρετε το σημείο Β και το σημείο Α, προκειμένου να μελετήσετε τα μεγέθη που μεταβάλλονται. Αρχίστε μελετώντας τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το Μ. Προσέξτε ότι η τετμημένη του σημείου Μ είναι πάντα ίση με την απόσταση ΟΜ, η οποία σημειώνεται με d στις μετρήσεις. Η τεταγμένη του σημείου Μ, δηλαδή το τμήμα ΒΜ έχει μέτρο που αναγράφεται στην οθόνη. Να κάνετε διπλό κλικ πάνω στη μέτρηση του ΒΜ, για να εμφανίσετε τον τρόπο με τον οποίο ο κατασκευαστής έχει καθορίσει τη μέτρηση αυτή. Όπως παρατηρείτε, η τεταγμένη του σημείου Μ είναι η μέτρηση της γωνίας ω, μόνο που έχει μετατραπεί σε εκατοστά για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί από το λογισμικό ως μήκος. Στόχος αυτής της κατασκευής είναι να μελετήσουμε τη σχέση της απόστασης d με τη γωνία ω, όταν το μήκος ΑΒ έχει συγκεκριμένη σταθερή τιμή. Στην ουσία χρησιμοποιούμε τη μέθοδο του δυναμικού σημείου. Βοήθεια 8ης ερώτησης Το ίχνος μπορεί να εμφανιστεί, αν κάνετε δεξί κλικ πάνω στο σημείο και επιλέξετε την εμφάνιση του ίχνους. Η συνάρτηση που θα μπορούσε να συνδέει τα δύο μεγέθη, δηλαδή την απόσταση d με τη γωνία ω, θα έχει γραφική παράσταση εκείνη που γράφει το σημείο Μ. Η συνάρτηση αυτή είναι προφανώς τριγωνομετρική και θα προκύψει από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΑ. Παρατηρείτε, λοιπόν, ότι εφω=(υ/d), από όπου προκύπτει ότι ω=τοξοεφ(υ/d). Η συνάρτηση που αντιστοιχεί σε αυτή τη σχέση είναι f(x)=arctan(υ/x), αφού η γωνία ω είναι η εξαρτημένη μεταβλητή y, ενώ το τμήμα d είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή x. Βοήθεια 9ης ερώτησης Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f που κατασκευάσατε στο προηγούμενο ερώτημα. Παρατηρήστε τη θέση του σημείου Μ ως προς τη γραφική παράσταση. Να σύρετε το σημείο Β και να παρατηρήσετε την πορεία του σημείου Μ. Αν το σημείο Μ κινηθεί πάνω στη γραφική παράσταση της f, τότε η συνάρτηση f είναι η κατάλληλη. Να μεταβάλλετε τo μήκος του ΑΒ, σύροντας το σημείο Α. Να σύρετε το σημείο Β, ώστε να εμφανιστεί η νέα γραφική παράσταση. Ποια σχέση έχει η νέα γραφική παράσταση με την ήδη υπάρχουσα; Απόκρυψη του παραπάνω κειμένου Η βέλτιστη οπτική γωνία (Εμφάνιση βοήθειας) Βοήθεια 1ης ερώτησης Όταν λέμε γεωμετρικό μοντέλο εννοούμε ένα σχήμα στο οποίο κάθε γεωμετρικό αντικείμενο (γωνία, ευθύγραμμο τμήμα, ευθεία κ.λπ.) αντιστοιχεί σε ένα αντικείμενο του φυσικού περιβάλλοντος. Εδώ θα πρέπει να διακρίνετε περιπτώσεις ως προς το πού είναι τοποθετημένος ο πίνακας. Συγκεκριμένα, αν ο πίνακας (το κάτω άκρο του) βρίσκεται σε υψηλότερο σημείο από ό,τι ο οφθαλμός του παρατηρητή, το σχήμα είναι διαφορετικό από το σχήμα που παριστάνει τον πίνακα απέναντι από τον παρατηρητή. Βοήθεια 2ης ερώτησης Σε καθεμία από τις προηγούμενες περιπτώσεις να εκφράσετε την οπτική γωνία ω του παρατηρητή είτε ως άθροισμα είτε ως διαφορά δύο κατάλληλων γωνιών, οι οποίες θα ανήκουν σε ορθογώνια τρίγωνα. Θα πρέπει στα ορθογώνια αυτά τρίγωνα η μία κάθετη πλευρά να είναι η d, οπότε μπορείτε να υπολογίσετε έναν τριγωνομετρικό αριθμό των δύο επιμέρους γωνιών. Η επιλογή της εφαπτομένης διευκολύνει αρκετά τους υπολογισμούς σας. Προφανώς θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους τύπους των τριγωνομετρικών αριθμών του αθροίσματος και της διαφοράς των γωνιών. Βοήθεια 3ης ερώτησης Στη δεύτερη περίπτωση της προηγούμενης ερώτησης είναι φανερό ότι η μέγιστη τιμή για τη γωνία ω επιτυγχάνεται, αν μηδενιστεί η απόσταση d. Στην πρώτη περίπτωση, η απάντηση δεν είναι δυνατόν να δοθεί άμεσα. Αυτό που θα μπορούσε να προκύψει ως συμπέρασμα είναι ότι για μηδενική τιμή του d μηδενίζεται η γωνία η οποία είναι πολύ μικρή, όταν το d πάρει αρκετά μεγάλες τιμές. Είναι φανερό ότι χρειάζονται επιπλέον εργαλεία (μαθηματικά ή τεχνολογικά) για να προσδιορίσουμε την κατάλληλη τιμή για το d. Βοήθεια 4ης ερώτησης Στην οθόνη εμφανίζεται ένα γεωμετρικό δυναμικό μοντέλο στο οποίο το τμήμα ΑΒ παριστάνει τον πίνακα και μπορεί να μετακινείται αν σύρουμε το σημείο Β. Αν σύρουμε το σημείο Μ, θα μεταβληθεί το μήκος ΑΒ. Με το κουμπί «Άξονες» εμφανίζεται ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων, ενώ με το κουμπί «Δυναμικό Σημείο» εμφανίζεται ένα σημείο Μ. Από τις μετρήσεις μπορούμε να εντοπίσουμε την τιμή της απόστασης ΣΤ, ώστε η γωνία ω να πάρει μέγιστη τιμή. Για να μελετήσετε τη συμπεριφορά του μοντέλου θα πρέπει να σημειώσετε τη μέγιστη γωνία για συγκεκριμένο ύψος ΟΣ του ανθρώπου. Καλό θα ήταν να μετρήσετε την απόσταση ΣΟ, ώστε να γνωρίζεται ανά πάσα στιγμή την τιμή της. Το ίδιο θα πρέπει να κάνετε και για το μήκος ΑΒ. Αφού αλλάξετε τις τιμές των διαφόρων παραμέτρων, να μελετήσετε πώς αλλάζει η μέγιστη τιμή της γωνίας. Κυρίως θα πρέπει να επικεντρώσετε την προσοχή σας στην περίπτωση κατά την οποία η απόσταση ΑΤ είναι μικρότερη από το ΟΣ. Βοήθεια 5ης ερώτησης Παρατηρήστε τις συντεταγμένες του σημείου Μ σε συνδυασμό με τις μετρήσεις του ΣΤ και της γωνίας ω. Οι μετρήσεις της γωνίας ω είναι μεγάλες και το δυναμικό σημείο Μ μπορεί να βρεθεί εκτός οθόνης. Επιπλέον, θα πρέπει η μονάδα μέτρησης να γίνει cm, αφού οι μοίρες δεν είναι δυνατόν να μετακινήσουν το Μ κατακόρυφα. Για τους παραπάνω λόγους οι μετρήσεις της γωνίας ω έχουν διαιρεθεί με 3ο και έχουν πολλαπλασιαστεί με 1 cm, οπότε οι τιμές της γωνίας ω, αφενός, έχουν ελαττωθεί και, αφετέρου, έχουν μετατραπεί σε cm. Σύροντας το σημείο Σ, βλέπετε ότι το σημείο Μ κινείται και αφήνει ίχνος. Η καμπύλη που δημιουργείται είναι η γραφική παράσταση της σχέσης που συνδέει την απόσταση ΣΤ με την οπτική γωνία ω του παρατηρητή. Αν αλλάξετε τις τιμές των διαφόρων παραμέτρων, π.χ. του ύψους ΟΣ του παρατηρητή, θα αλλάξει και η μορφή της καμπύλης που γράφει το σημείο Μ. Οι καμπύλες που θα προκύψουν θα αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές των παραμέτρων και θα φανερώνουν τις μεταβολές στη θέση του μεγίστου. Αν έχετε κατασκευάσει κάποια σχέση μεταξύ της απόστασης ΣΤ και της γωνίας ω, στη 2η ερώτηση, μπορείτε να δημιουργήσετε τη γραφική της παράσταση με τη βοήθεια του λογισμικού. Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση αυτή συμπίπτει με την καμπύλη που δημιουργεί το ίχνος του σημείου Μ. Μην ξεχνάτε ότι οι τιμές της γωνίας ω έχουν διαιρεθεί με το 3 και επομένως το ίδιο θα πρέπει να γίνει και με τη συνάρτηση που έχετε κατασκευάσει στη 2η ερώτηση. Απόκρυψη του παραπάνω κειμένου Η βέλτιστη θέση στο ποδόσφαιρο (Εμφάνιση βοήθειας) Βοήθεια 1ης ερώτησης Να μελετήσετε τις πληροφορίες που υπάρχουν στο κείμενο σχετικά με τον αγωνιστικό χώρο. Για να είναι πειστικό ένα μοντέλο θα πρέπει να είναι όμοιο με την πραγματική κατάσταση, δηλαδή να διατηρεί τις αναλογίες των τμημάτων του. Να επιλέξετε έναν αγωνιστικό χώρο, π.χ. το στάδιο Καραϊσκάκη, για τον οποίο ο λόγος του πλάτους προς μήκος είναι 2/3. Όπως θα παρατηρήσετε, ο λόγος του πλάτους του αγωνιστικού χώρου προς το μήκος της εστίας είναι μεγάλος (80/7,3) και αν επιχειρήσετε να κατασκευάσετε μία πειστική προσομοίωση, τότε η εστία θα πρέπει να είναι πολύ μικρή. Να επιλέξετε το πλάτος γηπέδου να είναι το ελάχιστο δυνατό. Βοήθεια 2ης ερώτησης Εδώ μπορείτε να εφαρμόσετε τη μεθοδολογία της προηγούμενης δραστηριότητας. Παρακάτω δίνεται ένα ενδεικτικό σχήμα. Παρατηρήστε ότι η ζητούμενη γωνία ω είναι ίση με θ-φ και επομένως εφω=εφ(θ-φ). Επιπλέον, τόσο η εφθ όσο και η εφφ, μπορούν να υπολογιστούν στα ορθογώνια τρίγωνα στα οποία ανήκουν. Αν θέλετε η τελική σας σχέση να έχει τη μορφή συνάρτησης, χρησιμοποιήστε την αντίστροφη συνάρτηση της y=tanx, δηλαδή την y=arctanx. Βοήθεια 3ης ερώτησης Αυτό που θα μπορούσε να προκύψει ως συμπέρασμα είναι ότι για μηδενική τιμή του d μηδενίζεται η γωνία η οποία είναι πολύ μικρή, όταν το d πάρει αρκετά μεγάλες τιμές. Αυτό θα πρέπει να είναι προφανές από τον τύπο που έχετε κατασκευάσει, δηλαδή ο μηδενισμός του d μέσα στον τύπο θα πρέπει να μηδενίζει τη γωνία ω, ενώ για μεγάλες τιμές του d θα πρέπει να προκύπτουν μικρές τιμές για τη γωνία. Η μέγιστη τιμή της γωνίας μπορεί να υπολογιστεί αλγεβρικά μέσω της σχέσης που έχετε κατασκευάσει, όμως αυτό είναι πολύ δύσκολο. Είναι φανερό ότι χρειάζονται επιπλέον εργαλεία (μαθηματικά ή τεχνολογικά) για να προσδιορίσουμε την κατάλληλη τιμή για το d. Βοήθεια 4ης ερώτησης Να κατασκευάσετε ένα δυναμικό μοντέλο με βάση το σχήμα που δημιουργήσατε στο τετράδιό σας στην πρώτη ερώτηση. Αυτό που πρέπει να σημειωθεί είναι ότι με το συγκεκριμένο λόγο 1/7, στο μοντέλο που προκύπτει η εστία έχει διαστάσεις πολύ μικρές, κάτι που ισχύει και για τη γωνία. Για να ξεπεράσετε αυτό το πρόβλημα μπορείτε να υποθέσετε ότι ο παίκτης δεν κινείται πάνω στη γραμμή (ε) του πλάγιου άουτ, αλλά πάνω σε μία ευθεία γραμμή, παράλληλα προς την (ε), από την οποία η εστία απέχει αρκετά μικρότερη απόσταση. Σε περίπτωση που θέλετε ένα έτοιμο μοντέλο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο model_2. Βοήθεια 5ης ερώτησης Να μετρήσετε τη γωνία ω και τη μεταβλητή απόσταση d του παίκτη από τη γραμμή του άουτ. Οι τιμές της γωνίας δεν είναι πολύ μεγάλες, ώστε να χρειαστεί μείωση των τιμών με διαίρεση. Να κατασκευάσετε ένα δυναμικό σημείο Μ με τετμημένη d και τεταγμένη ω (σε cm). Να ακολουθήσετε την υπόδειξη που υπάρχει στην 5η ερώτηση της προηγούμενης δραστηριότητας. Απόκρυψη του παραπάνω κειμένου Μελέτη φωτογραφίας (Εμφάνιση βοήθειας) Βοήθεια 1ης ερώτησης Στην αρχή να κάνετε αρκετές φορές το εξής πείραμα: Συγκεντρώστε το βλέμμα σας σε ένα διάδρομο που έχει αρκετό βάθος. Αρχίστε να χαμηλώνετε σταδιακά προς το δάπεδο και στη συνέχεια σηκωθείτε και πάλι αργά μέχρι την όρθια στάση. Προσπαθήστε να επικεντρωθείτε στην εντύπωση που έχετε για το πάτωμα, ιδιαίτερα στο τμήμα του που είναι απομακρυσμένο. Αν δεν διαθέτετε μία ψηφιακή φωτογραφική μηχανή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις έτοιμες εικόνες που έχετε στο φύλλο εργασίας. Προσπαθήστε να συνδέσετε την εντύπωση που είχατε κατά τη διάρκεια του πειράματος με τις εικόνες που προκύπτουν κατά τη φωτογράφηση του πατώματος από διαφορετικά ύψη. Για να ερμηνεύσετε με μαθηματικό τρόπο τις μεταβολές στην εικόνα, κάντε ένα γεωμετρικό σχήμα. Βοήθεια 2ης ερώτησης Να χρησιμοποιήσετε την έννοια της οπτικής γωνίας και να λάβετε υπ' όψιν και το ύψος του παρατηρητή. Να κατασκευάσετε δύο τουλάχιστον σχήματα στα οποία το ύψος του παρατηρητή θα παριστάνεται με διαφορετικό μήκος. Ακόμη να παραστήσετε τα πλακάκια του πατώματος ως ευθύγραμμα τμήματα. Μην ξεχνάτε ότι το φαινόμενο μέγεθος ενός αντικειμένου είναι η γωνία με την οποία το βλέπει ο παρατηρητής. Βοήθεια 3ης ερώτησης Σκεφτείτε ότι οι οριζόντιες γραμμές μεταξύ των πλακακιών βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις. Επίσης, ότι οι γραμμές που βρίσκονται στα άκρα του διαδρόμου είναι στην πραγματικότητα παράλληλες. Κοιτάξτε την πρώτη εικόνα που βρίσκεται στο βιβλίο του μαθητή και συνδυάστε τη με τα συμπεράσματά σας. Βοήθεια 4ης ερώτησης Να λάβετε υπ' όψιν ότι αυτό που ελαττώνεται δεν είναι το πραγματικό μέγεθος των αντικειμένων και των αποστάσεων, αλλά το φαινόμενο, δηλαδή η οπτική γωνία. Να κατασκευάσετε διάφορες οπτικές γωνίες από έναν παρατηρητή για αντικείμενα που βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους ή έχουν ίδιο μέγεθος. Εξετάστε τον τρόπο που μεταβάλλεται η οπτική γωνία, όταν παρατηρούνται αντικείμενα που βρίσκονται όλο και μακρύτερα. Απόκρυψη του παραπάνω κειμένου Τα οπτικά του Ευκλείδη (Εμφάνιση βοήθειας) Βοήθεια 1ης ερώτησης Αρχικά μπορείτε να συζητήσετε την ερμηνεία των όρων με τους φιλολόγους του σχολείου. Το σημαντικό είναι να κάνετε νοηματική απόδοση και όχι απλή μετάφραση, δηλαδή να συσχετίσετε το περιεχόμενο των όρων με την εμπειρία που αποκτήσατε κατά την προηγούμενη δραστηριότητα. Βοήθεια 2ης ερώτησης Στο δεύτερο όρο ο Ευκλείδης περιγράφει τον οπτικό κώνο, ενώ στον τέταρτο όρο η ερμηνεία είναι προφανής με βάση το φαινόμενο μέγεθος. Βοήθεια 3ης ερώτησης Στην τέταρτη πρόταση ο Ευκλείδης αναφέρεται στην αίσθηση που έχουμε ότι όσο πιο μακριά βρίσκονται ίσα αντικείμενα τόσο μικρότερα φαίνονται. Βοήθεια 4ης ερώτησης Παρατηρήστε ότι Ευκλείδης χρησιμοποιεί τρεις διαφορετικές γνωστές προτάσεις της γεωμετρίας. Η μία αναφέρεται στις ίσες γωνίες και τις παράλληλες, η άλλη στην παράλληλη από το μέσον πλευράς τριγώνου και η τρίτη στις ανισοτικές σχέσεις μέσα σε ένα τρίγωνο. Το σημαντικό είναι να θεωρήσουμε ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί τα μαθηματικά εργαλεία της εποχής του για να μαθηματικοποιήσει την οπτική μας αντίληψη. Να λάβετε υπ' όψιν σας ότι δεν είχε ακόμη αναπτυχθεί η τριγωνομετρία, όπως τουλάχιστον τη γνωρίζουμε σήμερα. Βοήθεια 5ης ερώτησης Εδώ έχει ιδιαίτερη σημασία ο όρος «ανισοπλατή», ο οποίος βέβαια σημαίνει ότι το πλάτος βαίνει συνεχώς μειούμενο, αλλά μπορεί να αποδοθεί με τη φράση «συγκλίνουν οι παράλληλες». Βοήθεια 6ης ερώτησης Να κατασκευάσετε δύο τρίγωνα με ίσες βάσεις ΑΒ=ΓΔ και να φέρεται τα ύψη τους ΟΚ και ΟΛ που προφανώς βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Να συγκρίνεται τις γωνίες στα ορθογώνια τρίγωνα ΟΛΔ και ΟΚΒ/\. Προσέξτε ότι τα τα τρίγωνα αυτά έχουν μία γωνία ίση (την ορθή), μία πλευρά ίση (ΚΒ=ΛΔ), ενώ τις πλευρές ΟΛ και ΟΚ άνισες Βοήθεια 7ης ερώτησης Σκεφτείτε ότι έχει ουσιαστικά μαθηματικοποιήσει τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τα πράγματα μέσα στο χώρο. Απόκρυψη του παραπάνω κειμένου Η τριγωνομετρία (Εμφάνιση βοήθειας) Βοήθεια 1ης ερώτησης Να μελετήσετε τον τρόπο με τον οποίο έχετε αντιμετωπίσει το συγκεκριμένο πρόβλημα στις εισαγωγικές δραστηριότητες. Βοήθεια 2ης ερώτησης Να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που εκφράζει την εφαπτομένη της διαφοράς δύο γωνιών. Βοήθεια 3ης ερώτησης Να μελετήσετε τη συνάρτηση που έχετε κατασκευάσει. Συγκεκριμένα, ο τύπος της συνάρτησης και η θέση της μεταβλητής χ στον παρονομαστή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για μία φθίνουσα συνάρτηση. Βοήθεια 4ης ερώτησης Αν φέρετε το ύψος του ισοσκελούς τριγώνου, μπορείτε να χωρίσετε τη γωνία σε δύο επιμέρους γωνίες. Βοήθεια 5ης ερώτησης Η σχέση μπορεί να κατασκευαστεί με πολλούς τρόπους. Ένας από αυτούς είναι να θεωρήσετε την εφαπτομένη της γωνίας ω ως εφαπτομένη αθροίσματος δύο γωνιών και να εργαστείτε όπως και στο προηγούμενο ερώτημα. Έχει ενδιαφέρον να αναζητήσετε και άλλους τρόπους σύνδεσης της ω με το ύψος και το τμήμα κ. Σκεφτείτε κατάλληλα θεωρήματα της τριγωνομετρίας. Βοήθεια 6ης ερώτησης Μία ενδεικτική συσχέτιση μεταξύ της γωνίας ω=ω1+ω2 και της απόστασης d θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί ως εξής: Αφού ω=ω1+ω2, άρα εφω=εφ(ω1+ω2)... Βοήθεια 7ης ερώτησης Παρατηρήστε ότι η φαινόμενη απόσταση των παραλλήλων, δηλαδή η οπτική γωνία του παρατηρητή, συνεχώς ελαττώνεται σε συνάρτηση με το βάθος d. Απόκρυψη του παραπάνω κειμένου Δυναμικά μοντέλα (1) (Εμφάνιση βοήθειας) Βοήθεια 1ης ερώτησης Να αποφασίσετε ποια θα είναι τα μεταβαλλόμενα μεγέθη. Ενδεικτικά θα μπορούσαμε να επιλέξουμε το ύψος ΟΠ του παρατηρητή, το μήκος κ του πλακακιού και την απόσταση του χ από τον παρατηρητή. Σχετικά με την κατασκευή του μοντέλου, όπως θα παρατηρήσετε στην εικόνα της ερώτησης 1, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα σημείο στον άξονα ψ'ψ. Το τμήμα κ θα το κατασκευάσετε μεταβαλλόμενο, με ένα μεταβολέα πάνω στον άξονα χ'χ. Βοήθεια 2ης ερώτησης Παρατηρήστε ότι αν το πλακάκι κ φτάσει στο σημείο που υποτίθεται ότι βρίσκεται ο παρατηρητής, τότε η γωνία γίνεται μέγιστη. Βοήθεια 4ης ερώτησης Αν κατασκευάσετε το δυναμικό μοντέλο, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις μετρήσεις της γωνίας που κάνει το λογισμικό. Για να εφαρμόσετε τη μέθοδο του δυναμικού σημείου θα πρέπει να μετατρέψετε τη μέτρηση της γωνίας σε μέτρηση μήκους, ώστε να γίνει δυνατή η μεταφορά του δυναμικού σημείου κατακόρυφα. Ένας τρόπος είναι να διαιρέσετε τη μέτρηση της γωνίας με 1o (ή 1 rad) και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε τη μέτρηση με 1 cm. Εδώ προκύπτει όμως το πρόβλημα των πολύ μεγάλων τιμών, όταν η γωνία μετράται σε μοίρες, ή των πολύ μικρών, όταν η γωνία μετράται σε ακτίνια. Μία λύση είναι να διαιρέσετε ή να πολλαπλασιάσετε τη μέτρηση της γωνίας με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε η μέτρηση να γίνεται με τιμές συμβατές με το ορατό μέρος της οθόνης. Προφανώς στην περίπτωση αυτή η γραφική παράσταση που θα προκύψει ανήκει στο πηλίκο ή το γινόμενο της ζητούμενης συνάρτησης με τον αριθμό που έχει χρησιμοποιηθεί. Βοήθεια 5ης ερώτησης Μία δυνατή γραφική παράσταση είναι η παρακάτω. Παρατηρήστε και εξηγήστε το σημείο στο οποίο εμφανίζεται το μέγιστο. Επίσης, ότι η γραφική παράσταση πλησιάζει συνεχώς τον άξονα χ'χ. Εξηγήστε γιατί συμβαίνει αυτό. Βοήθεια 6ης ερώτησης Να μεταβάλλετε τις τιμές του κ και να κατασκευάσετε 3-4 διαφορετικές παραστάσεις για τις αντίστοιχες τιμές του κ. Να παρατηρήσετε ότι οι διαφορετικές παραστάσεις που προκύπτουν παρουσιάζουν μέγιστο στο ίδιο σημείο. Βοήθεια 7ης ερώτησης Να ερμηνεύσετε τις διάφορες γραφικές παραστάσεις με βάση την οπτική μας αντίληψη. Απόκρυψη του παραπάνω κειμένου Δυναμικά μοντέλα (2) (Εμφάνιση βοήθειας) Βοήθεια 1ης ερώτησης Να ορίσετε και πάλι τα δύο μεγέθη, d και ω, που πρέπει να συνδεθούν. Επιπλέον, το μήκος κ θα αποτελέσει την παράμετρο της οποίας οι μεταβολές θα μελετηθούν σε σχέση με τη γραφική παράσταση που θα προκύψει. Βοήθεια 3ης ερώτησης Να εργαστείτε όπως και στο προηγούμενο φύλλο εργασίας, μετατρέποντας κατάλληλα τις μοίρες σε εκατοστά. Ένα ενδεικτικό μοντέλο με το λογισμικό θα μπορούσε να είναι αυτό που ακολουθεί. Το σημείο Π που παριστάνει τον παρατηρητή θα πρέπει να είναι μεταβαλλόμενο. Βοήθεια 4ης ερώτησης Για διάφορες θέσεις του Π, να εφαρμόσετε τη μέθοδο του δυναμικού σημείου. Παρατηρήστε τις μεταβολές που υφίσταται η γραφική παράσταση. Να εξηγήσετε γιατί δημιουργούνται αυτές οι μεταβολές. Βοήθεια 5ης ερώτησης Παρατηρήστε τη γραφική παράσταση να μεταβάλλεται και εξηγήστε τη σημασία των μεταβολών αυτών στην οπτική μας αντίληψη. Βοήθεια 6ης ερώτησης Να εξηγήσετε τις μορφές της γραφικής παράστασης με τον τύπο που έχετε κατασκευάσει στην προηγούμενη δραστηριότητα. Βοήθεια 7ης ερώτησης Να κατασκευάσετε, με τη βοήθεια του λογισμικού, τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που έχετε ήδη κατασκευάσει στην προηγούμενη δραστηριότητα. Να συγκρίνετε τις ομοιότητες και τις διαφορές των δύο καμπυλών. Προφανώς υπάρχει περίπτωση οι δύο γραφικές παραστάσεις να μη συμπίπτουν. Στην παραπάνω εικόνα οι παραστάσεις δεν συμπίπτουν αφού αυτή που κατασκευάστηκε με το δυναμικό σημείο έχει προκύψει με διαίρεση των τιμών της γωνίας διά 5. Απόκρυψη του παραπάνω κειμένου
© 2007 Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων.