Ενότητα 5 - Μαθηματικά μοντέλα της οπτικής μας αντίληψης Έχετε σκεφτεί ποτέ ότι τα αντικείμενα που βρίσκονται στο φυσικό περιβάλλον μας είναι γνωστά μόνο μέσω των αισθήσεών μας; Οι αισθήσεις μας είναι οι είσοδοι των πληροφοριών που προέρχονται από τον εξωτερικό κόσμο, οι οποίες πληροφορίες αποτελούν και την αφετηρία της αντίληψης που έχουμε για τον κόσμο. Συχνά, όμως, οι αισθήσεις παραμορφώνουν τα αντικείμενα και το περιβάλλον τους και τότε μιλάμε για ψευδαισθήσεις. Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Όταν βρισκόμαστε μπροστά σε ένα διάδρομο, τότε έχουμε την εντύπωση ότι στο βάθος οι διάφορες γραμμές συγκλίνουν, το πάτωμα ανασηκώνεται, ενώ η οροφή χαμηλώνει. Το δωμάτιο φαίνεται σαν μια κόλουρη πυραμίδα και επομένως μπορούμε να μιλάμε για τον προοπτικό χώρο του δωματίου, γνωρίζοντας ότι ο πραγματικός χώρος είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Αυτός ακριβώς ο προοπτικός χώρος είναι ο χώρος της οπτικής μας αντίληψης, έτσι όπως μας τον παρουσιάζει η όρασή μας. Το θέμα που τίθεται τώρα είναι το εξής: Άραγε υπάρχουν κανόνες και νόμοι οι οποίοι διέπουν τον προοπτικό χώρο; Δηλαδή μπορούμε να οργανώσουμε με μαθηματικό τρόπο την οπτική μας αντίληψη; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό έχει ενδιαφέρον, γιατί αν στον προοπτικό χώρο τοποθετήσουμε τα αντικείμενα τυχαία, χωρίς δηλαδή κάποια αρχή, τότε προκύπτουν καταστάσεις όπως η επόμενη. Στην εικόνα παρουσιάζονται τρεις άνθρωποι που βαδίζουν σε ένα διάδρομο. Ο άνθρωπος Α, που βρίσκεται στο βάθος, φαίνεται να έχει μικρότερο μέγεθος από τον Β που βρίσκεται σε πρώτο πλάνο, όμως ακόμη μικρότερο μέγεθος φαίνεται να έχει ο άνθρωπος Γ. Ας μετρήσουμε τώρα τα ύψη των ανθρώπων πάνω στην οθόνη. Η μέτρηση επαναφέρει την τάξη στα αντικείμενα και τα τοποθετεί στη σωστή τους διάταξη. Τώρα πλέον γνωρίζουμε ότι οι δύο εικόνες των ανθρώπων Α και Γ έχουν το ίδιο μέγεθος και επομένως η σχέση Α>Γ είναι μία ψευδαίσθηση, αφού Α=Γ. Αυτή ακριβώς η διάσταση έχει προκύψει από την παραβίαση κάποιων κανόνων, δηλαδή των νόμων που διέπουν τον προοπτικό μας χώρο. Από πότε όμως άρχισε ο άνθρωπος να μελετά συστηματικά, δηλαδή επιστημονικά, την οπτική του αντίληψη; Η πρώτη επιστημονική προσέγγιση των οπτικών φαινομένων, από μαθηματική άποψη, έγινε από τον Ευκλείδη, τον 4ο αιώνα π.Χ., μέσα από τις προτάσεις που διατύπωσε και απέδειξε στα Οπτικά του. Στη μελέτη αυτή ο Ευκλείδης συγκεντρώνει και καταγράφει όλες τις μέχρι τότε εμπειρικές γνώσεις γύρω από την οπτική αντίληψη και επιχειρεί μία γεωμετρική ερμηνεία των οπτικών φαινομένων. Το βασικό μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης για να εκφράσει τα φαινόμενα μεγέθη είναι η γωνία του παρατηρητή ή η οπτική γωνία, όπως θα την αποκαλούμε στη συνέχεια. Η οπτική μας αντίληψη είναι το αντικείμενο μελέτης των δραστηριοτήτων του συγκεκριμένου σεναρίου. Στόχος μας είναι να μετατρέψουμε τα φαινόμενα σε νοούμενα, δηλαδή να τα κατανοήσουμε όσο το δυνατόν καλύτερα. Αυτό ακούγεται αρκετά φιλόδοξο, αλλά διαθέτουμε δύο σημαντικά εργαλεία που θα μας επιτρέψουν να μελετήσουμε και να κατανοήσουμε καλύτερα τον τρόπο που φαίνονται τα αντικείμενα. Τα εργαλεία αυτά είναι τα μαθηματικά και ο υπολογιστής. Αυτό που θα πρέπει να κρατήσουμε είναι ότι το φυσικό μας περιβάλλον μπορεί να γίνει περισσότερο κατανοητό μέσα από τα μαθηματικά μοντέλα που κατασκευάζουμε. Τα μοντέλα αυτά αναπτύσσονται, γίνονται όλο και περισσότερο πολύπλοκα και με τη βοήθεια της τεχνολογίας μπορούμε πλέον να κατασκευάζουμε φυσικές προσομοιώσεις, διαμορφώνοντας το δικό μας εικονικό κόσμο. Εισαγωγικές δραστηριότητες: η συνάρτηση f(x)=τοξοεφx ή f(x)=arctanx Πολλές φορές είναι αναγκαίο να λύνουμε εξισώσεις της μορφής εφx=α, όπου ο αριθμός α δεν είναι άμεσα μετατρέψιμος σε εφαπτομένη ενός τόξου. Για παράδειγμα, η εξίσωση εφχ=3 (ε) δεν είναι δυνατόν να λυθεί χωρίς τη βοήθεια κατάλληλων εργαλείων, όπως ο πίνακας τιμών ή ο υπολογιστής τσέπης. Αν διαθέταμε μία συνάρτηση, η οποία σε κάθε τιμή της εφαπτομένης ενός τόξου x να αντιστοιχεί σε μία τιμή του τόξου x, τότε, προφανώς, θα μπορούσαμε να λύσουμε σύντομα και εύκολα οποιαδήποτε εξίσωση σαν την (ε) μέσω της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Πράγματι, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη λύση μιας εξίσωσης, αρκεί να διαθέτουμε τα εργαλεία που κατασκευάζουν τη γραφική παράσταση. Επιπλέον, τα εργαλεία αυτά θα πρέπει να μας επιτρέπουν να ψάχνουμε για ζεύγη τιμών πάνω στη γραφική παράσταση. Υπάρχει μία συνάρτηση και ένα εργαλείο που μας επιτρέπουν να κάνουμε όλα όσα είναι αναγκαία, για να λύσουμε την εξίσωση (ε) με γραφική παράσταση. Η συνάρτηση λέγεται τόξο εφαπτομένης x και σε συντομογραφία τοξοεφx, ενώ τη συναντάμε και ως arctanx. Το εργαλείο που μας δίνει τη δυνατότητα να λύσουμε μία πολύπλοκη εξίσωση με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης είναι το λογισμικό Function Probe, με το οποίο μπορούμε σε κάθε σημείο της γραφικής του παράστασης να εντοπίζουμε τις συντεταγμένες αυτόματα. Η συνάρτηση αυτή, όμως, δεν είναι χρήσιμη μόνο για να λύνουμε εξισώσεις, αλλά και για έναν άλλο εξίσου σημαντικό λόγο. Μας δίνει τη δυνατότητα να μελετάμε την οπτική μας αντίληψη, δηλαδή τη γωνία με την οποία φαίνεται ένα αντικείμενο από έναν παρατηρητή. Η συνάρτηση f(x)=arctanx, Μελέτη φωτογραφίας, Τα οπτικά του Ευκλείδη, Η τριγωνομετρία, Δυναμικά μοντέλα ( δείτε τα φύλλα εργασίας) Ανοίξτε το φάκελο για να δείτε τα συνοδευτικά αρχεία της ενότητας ή κάντε κλικ εδώ για βοήθεια στις εκπαιδευτικές δραστηριότητες (όπου ζητείται από το αντίστοιχο φύλλο εργασίας).
© 2007 Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων.